普段、福岡空港を利用しているわけではないんですが、回答失礼いたします。
マイレージプログラムは、JALやANAだけでなくほとんどの航空会社が持っています。福岡空港発着なら、デルタ航空とか大韓航空、エールフランス、タイ国際航空、キャセイパシフィック、ガルーダ・インドネシア航空とかも乗り入れてませんでしたっけ。みんなマイレージプログラムを持っていますよ。普段お使いの航空会社が決まっているようなら、その航空会社のサイトを見ると、マイレージプログラムのページを見つけられると思います。

あと、これは土地勘がない者の素朴な疑問なんですが、福岡空港にはJALやANAはまったく運行していないのでしょうか？（それとも、トピ主さんが利用される路線には運行していないって意味でしょうか？）

あくまで私個人の意見になってしまいますが、マイレージプログラムって、いつも同じ航空会社を利用する（行き先とかもそんなに変わらない）人は、日系でも外資系でも、その航空会社のマイレージを利用するのが一番いいと思うのですが、それ以外の人だったら、とりあえず日系の航空会社のマイルを貯めておくほうが、国内のいろんなサービスでこまめにマイルをゲットできておすすめだと思います。

日系航空会社はマイル有効期限が短くてマイル加算率がよくないと言われますが、そのぶん特典航空券の必要マイル数が少ないし、普段より少ないマイルで航空券に交換できるキャンペーンとかもやってるので、定期的に国際線を利用されているならおすすめですよ。

コードシェア（共同運航）について回答します。

コードシェア便のマイル加算はかなり複雑で、できればそのつど航空会社に確認するのがベストです。
ただ、傾向としては、たとえば、A社とB社のコードシェア便で便名がA社であれば、A社のマイレージに貯まることが多いです。B社がA社と提携している場合（同じアライアンスに所属しているなど）では、B社のマイレージに貯められる場合もあります。

また、A社やB社と同じアライアンスに所属するC社に貯められるようなケースもありますが、このへんは本当にケースバイケースです。